我应该告银行么？

直面异议

你起诉是没有意义的。保险是银行给你钱的先决条件。你有义务保证你家保险是连续的，而收益人是银行。
关于收信，除非双方约定，信件的交接方式，否则人家寄出来就不管了。那是你和邮局间的事。

直面异议

而且你可能误解到期的意思了。除非你还完了全部的钱。你和银行的合同就还在。