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标题: 这两个证明题我真不行。。。求高手。。。 [打印本页]

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-8 18:40:06 标题: 这两个证明题我真不行。。。求高手。。。

本帖最后由原来这就是桃源于 2011-3-10 18:26 编辑

题目：
(1)Prove that if one of the numbers (2^n)-1 and (2^n)+1 is prime, n>2, then the other number is not.(已解答）
(2)Let d(n) be the number of positive divisors of integer n. Prove that d(n)≤2√n?

请高手指导下。。。

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-8 19:21:48

{:7_365:}{:7_365:}{:7_365:}质数什么的最讨厌了。。。在线等高手出现。。。

作者: za_za 时间: 2011-3-8 20:22:31

Case 1:
Let 2^(n - 1) be prime.
2^(n + 1) = 4·2^(n - 1)
So 2^(n + 1) is a composite number.

Case 2:
Let 2^(n + 1) be prime.
n > 2, so 2^n is an integer greater than 4.
2^(n + 1) = 2·2^n, a composite number
This conflicts with the hypothesis, so 2^(n + 1) is not prime, and there can be no case 2.

作者: qwertty 时间: 2011-3-8 20:47:21

本帖最后由 qwertty 于 2011-3-14 23:57 编辑

居然问题目问到这里来了

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-8 20:48:51

3# za_za
果然是高手。。。但我的题其实是这样的。。。忘记加括号了。。。
Prove that if one of the numbers (2^n)-1 and (2^n)+1 is prime, n>2, then the other number is not.

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-8 20:53:44

3# za_za
高手再帮我看看呗。。。{:7_359:}

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-8 21:04:54

4# qwertty
tutorial one的题很难啊。。。

作者: za_za 时间: 2011-3-8 21:25:50

2^n - 1 = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1), n terms.
If n is even, then:
2^n - 1 = (1+2) + (2^2 + 2^3) + ... + (2^(n-2) + 2^(n-1))
= (1+2) + 2^2(1 + 2) + ... + 2^(n-2)(1 + 2)
= (1+2) [1 + 2^2 + ... + 2^(n-2)]
= 3 [1 + 2^2 + ... + 2^(n-2)]
So n even => 3 divides 2^n - 1

If n is odd:
2^n + 1 = 2 + 2^n - 1
= 2 + 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1)
= 3 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1)
= 3 + (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + ... + (2^(n-2) + 2^(n-1))
= 3 + 2(1+2) + 2^3(1+2) + ... + 2^(n-2) (1+2)
= 3 [1 + 2 + 2^3 + ... 2^(n-2)]
So n odd => 3 divides 2^n + 1

So, if 2^n - 1 is prime, n cannot be even; so n is odd, and 2^n + 1 is not prime.
And if 2^n + 1 is prime, n cannot be odd; so n is even, and 2^n - 1 is not prime.

作者: orang-e 时间: 2011-3-9 01:56:03

高中數學...

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-9 13:46:06

8# za_za
谢谢za_za ...你的prove我基本懂了。。。但对于

2^n - 1 = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1),

是不是有定理直接可以写成这样？

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-9 14:00:06

2^n - 1 = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1), n terms.
If n is even, then:
2^n - 1 = (1+2) + (2^2 + 2^3) + ... + (2^(n-2) + 2^(n-1))
= (1+2) + 2^2(1 + 2) + ... + 2^(n-2)(1 + 2)
= (1+2) [1 + 2^2 + ... + 2 ...
za_za 发表于 2011-3-8 21:25

刚刚上了下yahoo。。。有个人给我答案跟你的一模一样。。。{:8_384:}

作者: lxc89816 时间: 2011-3-9 15:41:42

去yahoo answer 问问

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-9 23:16:20

去yahoo answer 问问
lxc89816 发表于 2011-3-9 15:41

恩我就是在那个上面问的答案根za_za给我的一字不差。。。

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-10 18:27:19

{:8_392:}哪位高手帮忙解答下第二题。。。万分感谢

作者: lawlietip 时间: 2011-3-10 22:50:17

第二题如下：
令N=n1^a1 * n2^a2 * ... *np^ap,  ni 是质数, ai 是任意正整数, 以及 n1<n2<n3<...<np.
根据乘法原理，得 d（N）= （1+a1）*（1+a2）*。。。*（1+ap）
因为 n1<n2<。。。<np，且全是质数，所以 3=<n2<n3<。。。<np,
所以 3^ai < ni^ai,  i>=2,
通过对函数（3^x)^0.5 - (1+x) 分析，得（3^x)^0.5 - (1+x) >0 当 x>=3时，所以（1+ai) < (3^ai)^0.5
所以（1+ai) < (ni^ai)^0.5 当 i>=2.

对于n1，如果n1>=3,则如上，直接连乘，得到不等式。
如果n1=2，则只需要证明（1+a1）<  2*(2^a1)^0.5，这时，只需要用数学归纳法，就可以证明它。

综上所述 d（n）=< 2*n^0.5

作者: lawlietip 时间: 2011-3-10 23:21:13

其实第一题不用那么复杂，直接 (2^n-1) * (2^n+1) = 4^n-1
接着 4^n-1 = (4-1)*(4^(n-1) + 。。。+4+1）= 3* (4^(n-1)+。。。+4+1)
如果两个都是质数，是不可能分解出其他因数，所以不可能两个皆为质数。

作者: IanNZ 时间: 2011-3-13 18:15:09

14# 原来这就是桃源

放棄吧alan...過來做cs350 assignment吧
下禮拜要交了

作者: 海边风 时间: 2011-3-15 01:45:58

up...............................

作者: 昔惜 时间: 2011-3-15 15:02:56

各种看不懂...帮顶..飘过..{:8_401:}

作者: 有问必答 时间: 2011-3-16 20:21:15

本帖最后由有问必答于 2011-3-17 14:44 编辑

重在参与，如果不对，请指出来啊
any integer n= (p1^i1)(p2^i2)*...* (ps^is) where p1 to ps are prime numbers, and the i1 to is are the powers. So the d(n)= (i1+1)(i2+1)...(is+1)
2Sqrt(n)= 2*(p1^i1/2)(p2^i2/2)*...* (ps^is/2)
suppose p3=5, for pj>=5, pj^ij/2>ij+1 ?
(i1+1)(i2+1)<= 2*(2^i1/2)*(3^i2/2) ?
therefore d(n)=< 2sqrt(n) ?

作者: 有问必答 时间: 2011-3-16 20:24:49

1# 原来这就是桃源

刚刚看到你的问题，可能你已经不需要答案了，呵呵，以后有问题，大家一起研究啊

作者: lawlietip 时间: 2011-3-17 00:42:06

20# 有问必答

你好，你的第二步d(n)=i1+...+is 错了，应该用乘法原理（i1+1)x...x(is+1)

作者: 原来这就是桃源 时间: 2011-3-17 02:12:45

1# 原来这就是桃源

刚刚看到你的问题，可能你已经不需要答案了，呵呵，以后有问题，大家一起研究啊
有问必答发表于 2011-3-16 20:24

请问你也学MATHS328吗？

作者: 有问必答 时间: 2011-3-17 14:38:25

22# lawlietip 呵呵，谢了啊，你说的对

作者: 有问必答 时间: 2011-3-17 14:45:06

22# lawlietip 我改了一下，你看看对么？请指点！

作者: 有问必答 时间: 2011-3-17 14:46:20

23# 原来这就是桃源 不学，只是对数学问题感兴趣，有问题一起讨论啊

作者: lawlietip 时间: 2011-3-17 16:27:35

25# 有问必答

其实直接从p2>=3开始就可以了，剩下p1=2 or 3分开讨论。

作者: 有问必答 时间: 2011-3-17 19:14:18

27# lawlietip 从3开始不太好啊，比如说 3^(1/2)= 1.7..... < (1+1) ?

作者: lawlietip 时间: 2011-3-17 22:50:55

28# 有问必答

通过对函数（3^x)^0.5 - (1+x) 分析，得（3^x)^0.5 - (1+x) >0 当 x>=3时，所以（1+ai) < (3^ai)^0.5
" f' u4 e+ L; p5 o% V所以（1+ai) < (ni^ai)^0.5 当 i>=2.
# f! H, J: w- f

作者: lawlietip 时间: 2011-3-17 22:52:05

28# 有问必答
你好，我在上面有解释，有兴趣可以看一下，交流交流

作者: 有问必答 时间: 2011-3-18 19:14:23

30# lawlietip 大体上明白你的意思了。你是从指数开始讨论，我是从素数因子开始讨论的。两种应该都没什么问题。
再问下你是怎么证明（3^x/2）>1+x when x>=3 ?

作者: lawlietip 时间: 2011-3-18 19:37:58

31# 有问必答

let f(x)=(sqrt3)^x-(1+x)
then df/dx= (sqrt3)^x*ln(sqrt3)-1, easy to get df/dx>0 when x>3, thus f(x) is strictly increasing when x>3.
As f(3)>0, hence f(x)>=f(3)>0 when x>3. hence (sqrt3)^x>1+x

作者: 有问必答 时间: 2011-3-18 20:36:04

32# lawlietip 呵呵，厉害，哥们奥大的么？

作者: lawlietip 时间: 2011-3-18 23:56:15

33# 有问必答
献丑了。。。我梅西的

作者: 有问必答 时间: 2011-3-19 12:26:09

34# lawlietip 我有几个方程，挺复杂的，变量比较多，但是可以解，有没有兴趣我们一起研究下？

作者: lawlietip 时间: 2011-3-19 19:20:43

35# 有问必答
可以，大家交流交流

作者: 有问必答 时间: 2011-3-20 00:41:11

36# lawlietip 给我个邮箱吧，我发方程给你，我的是 j.ma@foxmail.com

作者: lawlietip 时间: 2011-3-20 01:23:20

37# 有问必答
你好，这是我的邮箱 silentyip@yahoo.com 谢谢

作者: lawlietip 时间: 2011-3-20 23:02:18

37# 有问必答
你好，刚刚才发现原来我打错了邮箱。。。
应该是 yipsilent@yahoo.com 不好意思

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